In questa guida, si riportano 12 quiz svolti su alcune delle tipologie di esercizi di Logica Matematica più frequenti nei Test di Ammissione all'Università, nei Concorsi Militari e nei Concorsi Pubblici.
QUIZ n. 1
Traccia:
Una moto ha percorso i 7/8 di un certo tragitto. Sapendo che ha percorso 56 km, quanto è lungo l'intero tragitto?
a) 63 km
b) 70 km
c) 49 km
d) 64 km
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica risolvibile con una proporzione.
Infatti, possiamo riscrivere la traccia in una forma più intuitiva: "Se i 56 km percorsi dalla moto corrispondono ai 7/8 di un certo tragitto, quanti km è lungo l'intero tragitto?"
Indichiamo con "x" la lunghezza incognita dell'intero tragitto e con "8/8" la frazione che la rappresenta; possiamo "tradurre" matematicamente la domanda precedente nella seguente proporzione:
x = (56 • 1) / (7/8)
⇓
x = (56 • 8) / 7
x = 64 km
Pertanto, la risposta corretta è la d).
Nota importante
Possiamo giungere più velocemente allo stesso risultato impostando questo calcolo: dividiamo la distanza già percorsa (56 km) per il numeratore della frazione data (7) e moltiplichiamo il risultato ottenuto per il denominatore (8). Otteniamo quindi:
QUIZ n. 2
Traccia:
Se un lavoro può essere eseguito da 32 operai in dodici giorni, in quanto tempo può essere eseguito da 48 operai?
a) 10
b) 6
c) 16
d) 8
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica sul lavoro.
Per risolvere questo tipo di quesiti, è molto utile conoscere i concetti di grandezze direttamente ed inversamente proporzionali.
Nel nostro caso, se il numero di operai cresce (da 32 a 48), ci aspettiamo che il lavoro venga eseguito più velocemente e che quindi il tempo impiegato sia inferiore a 12 giorni.
Quando una grandezza cresce e l'altra diminuisce (e viceversa), le due grandezze si dicono inversamente proporzionali e il loro prodotto risulta essere costante.
Poichè le grandezze "operai" e "tempo" sono inversamente proporzionali, il loro prodotto deve essere costante; pertanto, indicando con "x" il tempo incognito, otteniamo:
⇓
x = (32 • 12) / 48
⇓
x = 8
La risposta corretta è, quindi, la d).
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QUIZ n. 3
Traccia:
Francesco vince al lotto 12.000 €; il primo giorno ne spende 1/5 e il secondo giorno 2/3 della quantità rimasta. Quanti soldi gli avanzano il terzo giorno?
a) 3.000 €
b) 2.800 €
c) 3.200 €
d) 3.400 €
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica con le frazioni.
In genere, possiamo risolvere questo tipo di quesiti calcolando prima gli importi spesi nei singoli giorni e, successivamente, i soldi avanzati mediante una semplice sottrazione.
Il primo giorno Francesco spende 1/5 di 12.000 €. Matematicamente possiamo "tradurre" la preposizione "di" con una moltiplicazione:
(1/5) • (12.000 €) = 2.400 €
Il secondo giorno Francesco spende 2/3 della quantità rimasta.
Il primo giorno ha speso 2.400 € e, quindi, il secondo giorno rimane con:
(12.000 €) - (2.400 €) = 9.600 €
Calcoliamo i 2/3 di 9.600 €:
(2/3) • (9.600 €) = 6.400 €
Infine, sottraendo le due quantità appena calcolate dalla vincita di 12.000 €, otteniamo:
(12.000 €) - (2.400 €) - (6.400 €) = 3.200 €
La risposta corretta è, quindi, la c).
QUIZ n. 4
Traccia:
Ad un corso di fitness sono iscritti 15 ragazzi di età media pari a 18 anni e 20 ragazze di età media pari a 25 anni. Qual è l'età media degli iscritti al corso di fitness?
a) 21
b) 22
c) 24
d) 20
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica sulle medie aritmetiche.
Nel nostro caso, dobbiamo calcolare la media aritmetica ponderata o media aritmetica pesata.
La media aritmetica ponderata permette di calcolare il valore medio di più dati numerici quando tali dati non hanno tutti la stessa importanza o lo stesso "peso".
Il quesito ci richiede di calcolare l'età media del totale degli iscritti al corso di fitness. Notiamo, però, che il numero dei ragazzi è diverso dal numero delle ragazze, quindi le loro età medie non hanno lo stesso "peso". Ciò significa che NON possiamo effettuare il calcolo tramite la media aritmetica semplice calcolando la semisomma delle età medie dei due diversi gruppi: (18+25) : 2 = 21,5. Tale calcolo, infatti, sarebbe corretto solo se il numero dei ragazzi fosse uguale a quello delle ragazze.
Dobbiamo, invece, calcolare la media aritmetica ponderata dividendo la somma dei prodotti di ciascun dato (età media) per il rispettivo "peso" (numero di ragazzi) per il totale dei pesi (numero complessivo di ragazzi e ragazze):
= (270 + 500) / 35 =
= 22 anni
La risposta corretta è, quindi, la b).
Nota importante
Il risultato ottenuto, come ci aspettavamo, è un numero più vicino a 25 anni (eta medià delle ragazze) rispetto a 18 anni (età media dei ragazzi).
Infatti, le ragazze sono in numero superiore rispetto ai ragazzi e, di conseguenza, la loro età media ha un "peso" maggiore quando calcoliamo l'età media complessiva di tutti gli iscritti al corso di fitness.
QUIZ n. 5
Traccia:
Un’urna contiene 5 palline blu, 20 rosse e 25 verdi. Quanto vale la probabilità di estrarre in sequenza prima una pallina blu e poi una pallina rossa?
(N.B.: la seconda estrazione avviene senza reinserimento nell’urna della prima pallina).
a) circa il 4%
b) circa l’8%
c) circa il 10%
d) circa l’1%
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica sul calcolo delle probabilità.
Ricaviamo inizialmente la probabilità di estrarre una pallina blu come rapporto tra il numero delle palline blu (evento favorevole) e il numero totale di palline (eventi possibili):
Poiché la pallina blu estratta non viene reinserita nell’urna, prima della seconda estrazione, all’interno dell’urna, sono rimaste 49 palline.
Pertanto, con procedimento risolutivo analogo a quello precedente, possiamo calcolare la probabilità di estrarre una pallina rossa come rapporto tra il numero delle palline rosse (evento favorevole) e il numero totale di palline (eventi possibili):
Infine, otteniamo la probabilità che i due eventi avvengano in sequenza l'uno dopo l'altro (probabilità del prodotto logico di eventi) moltiplicando le singole probabilità ricavate in precedenza:
La risposta corretta è, quindi, la a).
Nota importante
Per trasformare la frazione 2/49 in percentuale, possiamo moltiplicarla per 100: (2/49) • 100.
Poichè 100 non è divisibile per 49, conviene approssimare il numero 49 con il numero 50 ed effettuare il seguente calcolo: (2/50) • 100 = 4%.
Abbiamo così effettuato un calcolo approssimato e, quindi, dobbiamo utilizzare la parola "circa" per esprimere il risultato corretto del 4%.
QUIZ n. 6
Traccia:
Se un mattone pesa un chilogrammo più tre quarti di mattone, quanto pesa un mattone?
a) 5,5 kg
b) 1,5 kg
c) 4 kg
d) 2 kg
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica risolvibile con un'equazione di I grado.
Infatti, indichiamo con "x" il peso incognito del mattone e "traduciamo" matematicamente la traccia del quesito: "un mattone (x) pesa (=) un chilogrammo (1) più (+) tre quarti di mattone [(3/4) • x]".
Pertanto, l'equazione risolutiva è la seguente:
⇓
4x = 4 + 3x
⇓
x = 4 kg
La risposta corretta è, quindi, la c).
Risoluzione alternativa
Possiamo risolvere il quiz utilizzando direttamente le singole alternative di risposta, senza impostare l'equazione di I grado.
Ad esempio, come verifichiamo se la risposta d) è corretta?
Semplicemente controlliamo se, con il peso del mattone di 2 kg, la relazione matematica indicata dalla traccia del quesito è soddisfatta. Ossia è vero che 2 kg è uguale al 1 kg più i 3/4 del peso del mattone, cioè 2 kg?
2 kg = (1 kg) + [(3/4) • 2 kg] ???
2 = 1 + (3/2) ???
⇓
2 = 2,5 NO
Poichè abbiamo ottenuto al I e al II membro della relazione due numeri differenti, la relazione matematica richiesta dalla traccia del quiz non è verificata e l'alternativa di risposta d) non è corretta.
Se effettuiamo la stessa verifica per l'alternativa di risposta c), si ottiene invece:
4 kg = (1 kg) + [(3/4) • 4 kg] ???
4 = 1 + 3 ???
⇓
4 = 4 SI
La relazione matematica richiesta dalla traccia del quiz è verificata e la risposta c) è quella corretta.
N.B.: L'impostazione dell'equazione di I grado è generalmente preferibile soprattutto quando i numeri sono più complessi di quelli del quiz che abbiamo risolto. Infatti, questo metodo risolutivo ci porta direttamente alla risposta corretta e non abbiamo bisogno di effettuare ripetutamente gli stessi calcoli per le singole alternative di risposta.
QUIZ n. 7
Traccia:
Un orologio analogico segna le 23:43. Quando la lancetta dei minuti avrà compiuto 7,4 giri segnerà le…
a) 7:05
b) 7:07
c) 6:07
d) 7:10
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica risolvibile con gli orologi.
Sappiamo che la lancetta dei minuti compie 1 giro completo in 1 ora.
Pertanto, se sono le 23:43, quando la lancetta dei minuti avrà compiuto 7 giri, l'orologio segnerà le ore:
23:43 + 7 h = 06:43
Invece, per trovare i minuti corrispondenti ai 0,4 giri rimanenti compiuti dalla lancetta dei minuti, basta moltiplicare il numero "6" per la prima cifra decimale (vedi nota importante alla fine del quiz), cioè nel nostro caso "4":
6 • 4 = 24 min
Infine, aggiungengo 24 minuti all'orario 6:43 calcolato in precedenza, si ricava:
06:43 + 24 min = 07:07
L'alternativa di risposta corretta è, quindi, la b).
Nota importante
Perchè quando la lancetta dei minuti compie una certa frazione di giro (nel nostro quiz 0,4), per trovare i minuti corrispondenti trascorsi, bisogna moltiplicare il numero "6" per la prima cifra decimale (nel nostro caso 4)?
La moltiplicazione appena descritta e che abbiamo effettuato risolvendo il quiz, cioè "6 • 4", non è altro che il risultato della proporzione che "traduce" matematicamente la seguente domanda: "se un giro completo della lancetta dei minuti corrisponde a 60 minuti, 0,4 giri a quanti minuti corrispondono?":
x = (60 • 0,4) / 1
⇓
x = 6 • 4
x = 24 min
QUIZ n. 8
Traccia:
In un negozio di articoli sportivi vi sono 37 scatole di palline da tennis. Alcune scatole contengono 3 palline e altre ne contengono 4. In totale vi sono 133 palline. Quante scatole da 4 palline vi sono?
a) 20
b) 15
c) 17
d) 22
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica risolvibile con un sistema lineare (sistema di equazioni di I grado).
Indichiamo con "x" le scatole da 4 palline e con "y" le scatole da 3 palline. Poichè le scatole, in totale, sono 37, possiamo impostare la relazione (1):
(1) x + y = 37
Inoltre, indichiamo il numero complessivo di palline contenute nelle scatole da 4 palline con "4•x", mentre quelle contenute nelle scatole da 3 palline con "3•y". Tenendo conto che le palline da tennis, in totale, sono 133, possiamo scrivere la relazione (2):
(2) 4•x + 3•y = 133
Risolviamo ora il sistema lineare di due equazioni in due incognite, formato dalle relazioni (1) e (2).
Dalla relazione (1) ricaviamo il numero "y" di scatole da 3 palline:
⇓
4•x + 3•(37-x) = 133
QUIZ n. 9
Traccia:
Jack possiede 12 pipe apparentemente identiche, una delle quali è però più pesante delle altre. Avendo a disposizione una bilancia a due piatti, quante pesate saranno sufficienti per essere certi di individuarla?
a) 3
b) 6
c) 4
d) 7
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica risolvibile con le pesate.
Avendo a disposizione una bilancia a 2 piatti, per individuare la pipa più pesante dobbiamo porre, ad ogni pesata, un numero uguale di pipe su entrambi i piatti. Solo in questo modo, infatti, capiamo che la pipa più pesante è, in ogni pesata, tra quelle poste sul piatto della bilancia che si abbassa, a causa del peso maggiore.
Procediamo, quindi, con le pesate.
Prima pesata: sui 2 piatti della bilancia poniamo 6 pipe ciascuno; il piatto che si abbassa contiene la pipa più pesante; chiaramente possiamo scartare le 6 pipe sul piatto che si alza per il minor peso.
Seconda pesata: in modo analogo alla pesata precedente, poniamo 3 pipe su ciascun piatto della bilancia; il piatto che si abbassa contiene la pipa più pesante; anche in questo caso, scartiamo le 3 pipe sull'altro piatto che si solleva.
Terza pesata: infine, rimangono 3 pipe; sui due piatti della bilancia poniamo una pipa ciascuno (prese a caso), mentre una pipa viene tenuta a parte; a prescindere da come scegliamo le pipe da mettere sui piatti della bilancia, riusciamo comunque ad individuare la pipa più pesante. Infatti, possono presentarsi 2 casi:
a) se i due piatti della bilancia si equilibrano, cioè rimangono alla stessa altezza, la pipa più pesante è quella lasciata da parte;
b) se, invece, un piatto della bilancia si abbassa, è proprio questo piatto quello che contiene la pipa più pesante.
Le pesate sufficienti ad individuare la pipa più pesante sono 3.
Pertanto, l'alternativa di risposta corretta è la a).
QUIZ n. 10
Traccia:
In un paese, i 22 ragazzi che vanno a scuola possiedono almeno un mezzo di locomozione (bicicletta, motorino o pattini). Di questi 22 ragazzi, 8 possiedono la bicicletta, 12 il motorino e 9 i pattini. Sapendo che 6 ragazzi hanno sia la bicicletta sia i pattini e che in nessun caso c'è chi ha sia i pattini sia il motorino, in quanti hanno sia la bicicletta sia il motorino?
a) 3
b) 5
c) 1
d) 2
Risoluzione:
Il problema di logica matematica proposto rientra nei cosiddetti quiz di problem solving.
Analizziamo i primi dati forniti dalla traccia del quiz: 22 ragazzi ha almeno un mezzo di locomozione per andare a scuola (bicicletta, motorino o pattini); di questi, 8 possiedono la bicicletta, 12 il motorino e 9 i pattini.
Addizioniamo gli ultimi tre numeri che si riferiscono ai singoli mezzi di locomozione:
8 + 12 + 9 = 29
Notiamo che la somma appena ottenuta non coincide con il totale dei ragazzi, cioè 22. Ciò significa che 7 ragazzi (pari alla differenza 29-22) possiedono certamente più di un mezzo di locomozione.
Inoltre, continuando ad esaminare la traccia del quiz, sappiamo che 6 ragazzi hanno sia la bicicletta sia i pattini e che in nessun caso c'è chi ha sia i pattini sia il motorino. Cosa possiamo dedurre da queste informazioni?
1) 0 sono i ragazzi che hanno pattini e motorino;
2) 0 sono i ragazzi che hanno tutti e tre i mezzi di locomozione: bicicletta, pattini e motorino;
3) 6 sono i ragazzi che hanno bicicletta e pattini.
Il quiz richiede quanti siano i ragazzi che possiedono sia bicicletta che motorino. Poichè sappiamo che 7 ragazzi hanno più di un mezzo di locomozione, basta sottrarre a questo numero le tre quantità sopra elencate:
1 solo ragazzo possiede bicicletta e motorino.
La risposta corretta è, quindi, la c).
QUIZ n. 11
Traccia:
Una lumaca è caduta in un pozzo profondo 16 metri. Durante la mattina risale di 5 metri, ma prima di mezzanotte scivola indietro di 4 metri. Riuscirà ad uscire dal pozzo durante la mattina:
a) del sedicesimo giorno
b) del dodicesimo giorno
c) del quindicesimo giorno
d) dell'undicesimo giorno
Risoluzione:
Una lumaca, caduta sul fondo di un pozzo, deve pian piano risalire lungo la parete alta 16 m per poter finalmente uscire ed essere nuovamente "libera".
Sappiamo che ogni mattina la lumaca riesce a risalire di 5 m, mentre prima di mezzanotte scivola indietro di 4 m. Ciò significa che, rispetto al fondo del pozzo, ogni giorno la lumaca risale complessivamente di:
(5 m) - (4 m) = 1 m
Quindi, dopo 1 giorno la lumaca è salita a 1 m dal fondo del pozzo, dopo 2 giorni è a 2 m dal fondo del pozzo, e così via fino all'undicesimo giorno quando la lumaca è ormai riuscita a risalire di 11 m rispetto al fondo del pozzo.
Cosa succede la mattina del dodicesimo giorno?
La lumaca riesce ad uscire dal pozzo perchè negli 11 giorni precedenti era riuscita a risalire di 11 metri rispetto al fondo del pozzo e, di conseguenza, durante la mattina del dodicesimo giorno, salendo lungo la parete del pozzo di ulteriori 5 metri, riesce a tornare "libera". Si ha infatti:
(11 m) + (5 m) = 16 m
Pertanto, l'alternativa di risposta corretta è la b).
Nota importante
E' possibile giungere velocemente alla risposta corretta applicando una sola formula.
Indichiamo con:
- h = altezza totale del pozzo;
- s = salita (distanza percorsa dalla lumaca ogni mattina per risalire lungo la parete);
- d = discesa (scivolamento quotidiano verso il basso della lumaca prima di mezzanotte).
Durante la mattina di quale giorno "g" la lumaca riesce ad uscire dal pozzo?
Ecco la formula:
g = [(h - s) / (s - d)] + 1
Applichiamo la formula al nostro quiz:
g = [(16 - 5) / (5 - 4)] + 1
⇓
La lumaca riesce ad uscire dal pozzo durante la mattina del dodicesimo giorno.
QUIZ n. 12
Traccia:
Un'asta di metallo lunga 1 metro è sospesa per il suo centro. A 5 cm dall'estremità destra è agganciato un peso di 20 kg, mentre all'estremità opposta è agganciato un peso di 27 kg. Cosa è necessario fare per equilibrare l'asta e mantenerla in posizione orizzontale?
a) aggiungere, al peso agganciato a destra, un ulteriore peso di 7 kg
b) nulla, l'asta è già in equilibrio
c) aggiungere, al peso agganciato a sinistra, un ulteriore peso di 10 kg
d) aggiungere, al peso agganciato a destra, un ulteriore peso di 10 kg
Risoluzione:
Il quiz propone un problema di logica matematica sull'equilibrio delle aste.
Affinchè l'asta sia in equilibrio in posizione orizzontale, il prodotto del peso a sinistra "ps" per la rispettiva distanza "ds" dal centro dell'asta deve essere uguale al prodotto del peso a destra "pd" per la rispettiva distanza "dd" dal centro dell'asta:
ps • ds = pd • dd
Verifichiamo innanzitutto se, nelle condizioni iniziali, l'asta è già in equilibrio:
(27 kg) • (50 cm) = (20 kg) • (45 cm) ???
Pertanto, l'asta inizialmente non è in equilibrio. Possiamo escludere l'alternativa di risposta b).
In realtà, non può essere corretta neanche l'alternativa di risposta c). Infatti, dalla verifica sull'equilibrio iniziale dell'asta, abbiamo visto come il prodotto peso per distanza a sinistra sia già superiore rispetto al prodotto peso per distanza calcolato a destra. Non possiamo, quindi, aggiungere ulteriori pesi a sinistra se vogliamo equilibrare l'asta.
Dobbiamo, invece, aggiungere un'ulteriore peso "x" a destra perchè sia verificato l'equilibrio dell'asta e risolvere la conseguente equazione di I grado:
⇓
1350 = 900 + 45x
⇓
⇓
x = 10 kg
Deduciamo che l'alternativa di risposta corretta è la d).
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